§Ò 1
C©u 1.

Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 h·y so s¸nh:

1
1
1
1
+ 2 + 2 + .... + 2 víi 1 .
2
2
3
4
n
1
1
1
1
b. B = 2 + 2 + 2 + ... +
víi 1/2
2
4
6
(2n )2

a. A=

C©u 2:

T×m phÇn nguyªn cña α , víi α = 2 + 3

3 4 4
n +1
+
+ .... + n +1
2
3
n

C©u 3:
T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é dµi hai ®−êng
cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8.
C©u 4:
Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho
AB cã ®é dµi nhá nhÊt.
C©u 5:
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a + b + c lµ c¸c sè h÷u tØ.
----------------------------------------------------------

§Ò 2:
Môn: Toán 7
Bài 1: (3 điểm): Tính
1
2
2 3
 1
 
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  :  19 − 2 3 .4 4 

Bài 2: (4 điểm): Cho
a)

a 2 + c2 a
=
b2 + c2 b

a c
= chứng minh rằng:
c b
b2 − a 2 b − a
b) 2 2 =
a +c
a

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:
1
5

a) x + − 4 = −2

b) −

15
3 6
1
x+ = x−
12
7 5
2

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với
vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên
bốn cạnh là 59 giây

= 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A
trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

1

Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ℕ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009) 2

§Ò 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.492

(125.7 )

3

+ 59.143

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. x −

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b. ( x − 7 )
Bài 3: (4 điểm)

x +1

− ( x − 7)

x +11

=0

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của
5 4 6

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
b) Cho

a2 + c2 a
a c
=
= . Chứng minh rằng: 2
c b
b + c2 b

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
 = 50o ; MEB
 =25o .
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
 và BME

Tính HEM
Bài 5: (4 điểm)

= 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác
Cho tam giác ABC cân tại A có A
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
c) Tia AD là phân giác của góc BAC
d) AM=BC

§Ò 4
Bµi 1: (2 ®iÓm)
2

Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101
a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A
b, TÝnh A
Bµi 2: ( 3 ®iÓm)
T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau:
a, 2x = 3y =5z vµ x − 2 y =5
b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90.
c,

y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+ z

Bµi 3: ( 1 ®iÓm)
1. Cho

a1 a2 a3
a
a
=
=
= ... = 8 = 9 vµ (a1+a2+…+a9 ≠0)
a2 a3 a4
a9 a1

Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9
2. Cho tØ lÖ thøc:

a +b+c a −b+c
vµ b ≠ 0
=
a +b−c a −b−c

Chøng minh c = 0
Bµi 4: ( 2 ®iÓm)
Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho.
Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) ⋮ 2
Bµi 5: ( 2 ®iÓm)
Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt
ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai
®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF.
Chøng minh r»ng : ED = CF.
=== HÕt===

§Ò 5
Bµi 1: (3 ®iÓm)


 1

4,5 :  47,375 −  26 − 18.0, 75  .2, 4 : 0,88
 3



1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
2 5
17,81:1,37 − 23 :1
3 6

3

2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: 2 x − 27

2007

+ ( 3 y + 10 )

2008

=0

3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn.
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
1. T×m x,y,z biÕt:

x −1 y − 2 z − 3
vµ x-2y+3z = -10
=
=
2
3
4

2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chøng minh r»ng:

a 3 + b3 + c3 a
=
b3 + c3 + d 3 d

Bµi 3: ( 2 ®iÓm)
1. Chøng minh r»ng:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
> 10
1
2
3
100

2. T×m x,y ®Ó C = -18- 2 x − 6 − 3 y + 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 4: ( 3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh
BC.
KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE).
1, Chøng minh: BH = AK
2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao?
=== HÕt===

§Ò sè 6
C©u 1:
T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b
C©u 2:
T×m sè nguyªn x tho¶ m·n:
a,5x-3 < 2
b,3x+1 >4
c, 4- x +2x =3
C©u3:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
A =x +8 -x
2
2
3
2
C©u 4:
BiÕt r»ng :1 +2 +3 +...+10 = 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202
C©u 5 :
4

Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t
c¹nh AC t¹i D.
a. Chøng minh AC=3 AD
b. Chøng minh ID =1/4BD
-------------------------------------- HÕt -----------------------------------------

§Ò sè 7
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
a
b c
a+b+c
a
Cho:
= =
. Chøng minh: 
 = .
b
c d
d
b+c+d 
a
c
b
T×m A biÕt r»ng: A =
=
=
.
b+c a+b c+a
3

C©u 1 . ( 2®)
C©u 2. (1®).
C©u 3. (2®).
a). A =

T×m x ∈ Z ®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
x+3
.
x−2

C©u 4. (2®). T×m x, biÕt:
a)
x −3 = 5 .

b). A =
b).

1 − 2x
.
x+3

( x+ 2) 2 = 81.

c). 5 x + 5 x+ 2 = 650

C©u 5. (3®).
Cho
ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE,
CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh
MHK vu«ng c©n.
-------------------------------- HÕt -----------------------------------

§Ò sè 8
Thêi gian lµm bµi : 120 phót.
C©u 1 : ( 3 ®iÓm).
1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù
nhiªn. T×m a ?
2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc

a c
= ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c
b d

tØ lÖ thøc:
a)

a
c
=
.
a−b c−d

b)

a+b c+d
=
.
b
d

C©u 2: ( 1 ®iÓm).
T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10)
< 0.
C©u 3: (2 ®iÓm).
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d|
víi aC©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ.
a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C.
b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy.
x

A
B
việ

5

y
C
C©u 5: (2 ®iÓm)
Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c
c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------------------------- HÕt --------------------------------

§Ò sè 9
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1(2®):
3 4 5
100
+ 4 + 5 + ... + 100
3
2 2 2
2
b) T×m n ∈ Z sao cho : 2n - 3 ⋮ n + 1

a) TÝnh: A = 1 +

C©u 2 (2®):
a) T×m x biÕt: 3x - 2 x + 1 = 2
b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50.
C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng

213
, c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu
70

cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã.
C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña
tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm
B, I, C th¼ng hµng.
C©u 5(1®):

T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x +

1
1
=
7
y

---------------------------------------------------HÕt------------------------------------------

§Ò sè 10
Thêi gian lµm bµi: 120'.
C©u 1: TÝnh :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
.
1.2 2.3 3.4
99.100
1
1
1
1
b) B = 1+ (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... + (1 + 2 + 3 + ... + 20)
2
3
4
20

a) A =

C©u 2:
a) So s¸nh: 17 + 26 + 1
b) Chøng minh r»ng:

vµ 99 .

1
1
1
1
+
+
+ .... +
> 10 .
1
2
3
100

C©u 3:
T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3
C©u 4
6

Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy
c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ),
vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng:
a. BI=CK; EK = HC;
b. BC = DI + EK.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x − 2001 + x − 1
C©u 5:
------------------------------------------ hÕt ---------------------------------------------

§Ò sè 11
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt:
a,

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349
+
+
+
+
=0
327
326
325
324
5

b, 5 x − 3 ≥ 7
C©u2:(3 ®iÓm)
0

1

2

1
1
1
1
a, TÝnh tæng: S =  −  +  −  +  −  + ........ +  − 
 7  7  7
 7
1 2 3
99
b, CMR: + + + ........ +
<1
2! 3! 4!
100!

2007

c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho
10
§é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao
C©u3: (2 ®iÓm)
t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo?
C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 60 0 hai ®−êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña
tam gi¸c c¾t nhau t¹i I.
a, TÝnh gãc AIC
b, CM : IP = IQ
C©u5: (1 ®iÓm)

Cho B =

1
. T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
2(n − 1) 2 + 3

---------------------------------- hÕt ----------------------------------

§Ò sè 12
Thêi gian : 120'
C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :
a) (x − 1)5 = - 243 .
b)

x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
+
+
=
+
14
15
11
12
13

c) x - 2 x = 0
C©u 2 : (3®)

(x ≥ 0 )
7

a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt :

5 y 1
+ =
x 4 8

b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A =
C©u 3 : (1®)

x +1
x −3

(x ≥ 0 )

T×m x biÕt : 2. 5 x − 3 - 2x = 14

C©u 4 : (3®)
a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t−¬ng øng tØ lÖ
víi c¸c sè nµo .
b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB
lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh :
1) DE // BC
2) CE vu«ng gãc víi AB .
-----------------------------------HÕt--------------------------------

§Ò sè 13
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi1( 3 ®iÓm)
a, TÝnh:

1
1 176 12 10
10 (26 −
) − ( − 1,75)
3
3
7
11 3
A=
5
(
60
91 − 0,25). − 1
11

b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410)
Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng
2.
Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang.
Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña
tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB.
-------------------------------------------- hÕt -------------------------------------------

§Ò sè 14
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bµi 1(2 ®iÓm).

Cho A = x + 5 + 2 − x.

a.ViÕt biÓu thøc A d−íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Bµi 2 ( 2 ®iÓm)
1 1 1 1
1
1
< 2 + 2 + 2 + ....... +
< .
2
6 5 6 7
100
4
2a + 9 5a + 17 3a
lµ sè nguyªn.
b.T×m sè nguyªn a ®Ó :
+
−
a+3
a+3 a+3

a.Chøng minh r»ng :

8

T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A = ( n + 5)( n + 6 )⋮ 6n.

Bµi 3(2,5 ®iÓm).

Bµi 4(2 ®iÓm)
Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM +
ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §−êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f ( x ) − f ( x − 1) = x. .
¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + … + n.
----------------------------- HÕt -------------------------

§Ò sè 15
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1: (2®)

Rót gän A=

x x−2
x + 8 x − 20
2

C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A
trång ®−îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®−îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång
®−îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®−îc ®Òu
nh− nhau.
C©u 3: (1,5®)

Chøng minh r»ng

102006 + 53
lµ mét sè tù nhiªn.
9

C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn
Ax vÏ ®−êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC.
Chøng minh r»ng:
a, K lµ trung ®iÓm cña AC.
b, BH =

AC
2

c, ∆KMC ®Òu
C©u 5 (1,5 ®)
Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y,
§«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d−íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1
nöa:
a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2.
b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3.
c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4.
Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.
--------------------------------- HÕt --------------------------------------

§Ò sè 16:
Thêi gian lµm bµi 120 phót
C©u 1: (2®) T×m x, biÕt:
b) 2 x − 3 > 5
a) 3x − 2 − x = 7

c) 3x − 1 ≤ 7

d) 3x − 5 + 2 x + 3 = 7

C©u 2: (2®)
a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200
9

b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410
C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña
tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I.
a) TÝnh gãc AIC
b) Chøng minh IM = IN
C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC.
C¸c ®−êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®−êng th¼ng MN lÇn
l−ît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®−êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng
minh:
a) BD ⊥ AP; BE ⊥ AQ;
b) B lµ trung ®iÓm cña PQ
c) AB = DE
C©u 5: (1®)

Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A=

14 − x
Cã gi¸ trÞ lín nhÊt?
4−x

T×m gi¸ trÞ ®ã.
-------------------------------------- HÕt ----------------------------------------

§Ò sè 17:
C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt:
a. 4 x + 3 - x = 15.
b. 3x − 2 - x > 1.

c. 2 x + 3 ≤ 5.

C©u2: ( 2 ®iÓm)
a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia
hÕt cho 43.
b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 lµ: m, n
chia hÕt cho 3.
§é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh− thÕ
C©u 3: ( 23,5 ®iÓm)
nµo,biÕt nÕu céng lÇn l−ît ®é dµi tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû
lÖ theo 3:4:5.
C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt

ADB > 
ADC . Chøng minh r»ng: DB < DC.

C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc:

A = x − 1004 - x + 1003 .

-------------------------------------- HÕt ---------------------------------

§Ò sè 18
C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt :
a. 3x − 2 +5x = 4x-10

b. 3+ 2x + 5 > 13

C©u 2: (3 ®iÓm )
a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû
lÖ víi 1, 2, 3.
b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+...+74n chia hÕt cho 400 (n ∈ N).
C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By.
10

α

A
C

x

β
γ

B

y

C©u 4 (3 ®iÓm )
Cho tam gi¸c c©n ABC, cã 
ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc
CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB
C©u 5 (1 ®iÓm )
TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004.

§Ò sè 19
Thêi gian lµm bµi: 120 phó
Bµi 1: (2,5®)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ:
−

Bµi 2: (2,5®)

1
1
1
1
1
1 1 1 1
− − − − − − − −
90 72 56 42 30 20 12 6 2

TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x − 2 + 5 − x

Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l−ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao
®iÓm cña 3 ®−êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC
b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO
Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong
biÓu thøc
(3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007.
------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------

§Ò 20
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1(3®): Chøng minh r»ng
A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102
C©u 2(3®): T×m x, biÕt:
a. x + x + 2 = 3 ;
b. 3x − 5 = x + 2
C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB.
C¸c ®−êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i
H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC.
a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n.
b) C/m QI = QM = QD = 0A/2
c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù nh− kÕt qu¶ ë c©u b.
C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
--------------------------------------------- HÕt --------------------------------------------11

§Ò 21:
Bµi 1: (2®)

Cho biÓu thøc A =

a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x =

x −5
x +3
1
4

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2. (3®)
a) T×m x biÕt: 7 − x = x − 1
b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006
c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng
®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm
Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2,
3.
Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña
tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I.
a) TÝnh gãc AIC
b) Chøng minh IM = IN
Bµi 5. (1®)

Cho biÓu thøc A =

2006 − x
.
6−x

T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ

lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
---------------------------------------- HÕt --------------------------------------

§Ò 22
C©u 1:
1.TÝnh:
15

1
1
a.   . 

20

2 4 

2. Rót gän: A =

25

1
1
b.   :  
9

30

3 

4 5.9 4 − 2.6 9
210.38 + 6 8.20

3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d−íi d¹ng ph©n sè vµ ng−îc l¹i:
12

a.

7
33

b.

7
22

c. 0, (21)

d. 0,5(16)

C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®−îc 912 m3 ®Êt. Trung
b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®−îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh
khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi.
C©u 3:
a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =

3
( x + 2) 2 + 4

b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1
C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho
 = 300 vµ MAB
 = 100 .TÝnh MAC
.
MBA

C©u 5:

Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1.
------------------------------------- HÕt -------------------------------------

§Ò23
Thêi gian: 120 phót.
C©u I: (2®)
1) Cho

a −1 b + 3 c − 5
=
=
vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c
2
4
6

2) Cho tØ lÖ thøc :

a c
2a 2 − 3ab + 5b 2 2c 2 − 3cd + 5d 2
= . Chøng minh :
=
. Víi ®iÒu
b d
2b 2 + 3ab
2d 2 + 3cd

kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh.
C©u II : TÝnh : (2®)
1
1
1
+
+ .... +
3.5 5.7
97.99
1 1
1
1
1
2) B = − + 2 − 3 + ..... + 50 − 51
3 3
3
3
3

1) A =

C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau :
a.
0,2(3) ;
b.
1,12(32).
C©u IV : (1.5®)
X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ;
p(3) = 1
C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng
c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE .
a. Chøng minh : BE = CD vµ BE ⊥ víi CD
b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n
---------------------------------------------- HÕt -----------------------------------------------

13

§Ò 24
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
3
3
+
11 12 + 1,5 + 1 − 0, 75
a) A =
5
5
5
−0, 265 + 0,5 − −
2,5 + − 1, 25
11 12
3
0,375 − 0,3 +

b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100
Bµi 2 (1,5®):
a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410
b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14
Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®−îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ
víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi
5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®−îc bao nhiªu tÊn thãc.
Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt:
1
1
b)  +
+ ... +

a) 3x − 4 ≤ 3

 1.2

2.3

1 
1
 − 2x =
99.100 
2

Bµi 5 ( 3®): Cho ∆ ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c
tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng:
 = 120 0
a) BMC
 = 120 0
b) AMB
Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu
1
x

cã: f ( x ) + 3. f ( ) = x 2 . TÝnh f(2).
---------------------------------------- HÕt ------------------------------------------

§Ò 25
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈ Z, biÕt
a. x + − x = 3 - x
x
6

b. −

1 1
=
y 2

c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30
C©u 2 (2®)
a. Cho A = (
14

1
1
1
1
1
− 1).( 2 − 1).( 2 − 1)...(
− 1) . H·y so s¸nh A víi −
2
2
2
100
2
3
4

b. Cho B =

x +1
x −3

. T×m x ∈ Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d−¬ng

C©u 3 (2®)
Mét ng−êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau
khi ®i ®−îc

1
qu·ng ®−êng th× ng−êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr−a.
5

TÝnh qu·ng ®−êngAB vµ ng−êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê?
C©u 4 (3®) Cho ∆ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña
tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D.
a. Chøng minh ∆AIB = ∆CID
b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ
trung ®iÓm cña MN

c. Chøng minh AIB 
AIB < BIC
d. T×m ®iÒu kiÖn cña ∆ABC ®Ó AC ⊥ CD

C©u 5 (1®)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =

14 − x
; 〈 x ∈ Z 〉 . Khi ®ã x nhËn gi¸
4−x

trÞ nguyªn nµo?
----------------------------- HÕt ---------------------------------------

§Ò 26
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1: (2,5®)
a. T×m x biÕt : 2 x − 6 +5x = 9
1 1 1 1
b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) :  + + +  ;
3

4

5

6

c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 vµ B = 2101 .
Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l−ît ®é dµi
tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8.
Bµi 3 :(2®)

Cho biÓu thøc A =

a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x =

x +1
x −1

.

16
25
vµ x =
.
9
9

b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5.
Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t
?
BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®−êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc MCN
Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt .
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ?
------------------------ HÕt -------------------------

§Ò 27
15

Thêi gian: 120 phót
C©u 1: (3®)
−2

−2

−1

1
4
5
2
−1
a. TÝnh A = ( 0, 25) .   .   .   .  
4
3
4
3
 

 

 

−3

 

b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25
c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d−¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10
C©u 2: ((3®)
a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr−êng cïng tham gia trång c©y.
Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®−îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp
cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®−îc cña 3 líp b»ng nhau.
b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn
C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña
tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t
AB vµ AC lÇn l−ît ë M vµ N. Chøng minh:
a. DM= ED
b. §−êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN.
c. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D
thay ®æi trªn BC.
------------------------------------------------- HÕt ----------------------------------------------

§Ò 28
Thêi gian: 120 phót
C©u 1: (2 ®iÓm).
a. a + a

Rót gän biÓu thøc

b. a − a
c. 3 ( x − 1) − 2 x − 3
T×m x biÕt:
C©u 2:
a. 5 x − 3 - x = 7
b. 2 x + 3 - 4x < 9
C©u 3: (2®)
T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè
cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3.
C©u 4: (3,5®).
Cho ∆ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE.
Qua D vµ E vÏ c¸c ®−êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng
minh r»ng DM + EN = BC.

§Ò 29
Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

16

Bµi 1:(1®iÓm)

H·y so s¸nh A vµ B, biÕt:

Bµi 2:(2®iÓm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A=

102006 + 1
;
102007 + 1

B=

102007 + 1
.
102008 + 1

1 
1  
1

A= 1 −
 . 1 −
 ... 1 −

1+ 2
1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + ... + 2006


Bµi 3:(2®iÓm)



 

T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng:



x 1 1
− =
8 y 4

Bµi 4:(2 ®iÓm)
Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
2
2(ab + bc + ca) > a + b2 + c2.

= C

= 50 0 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c
Bµi 5:(3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã B

 = 100 KCB
 = 300
sao cho KBC
a. Chøng minh BA = BK.
b. TÝnh sè ®o gãc BAK.
--------------------------------- HÕt ----------------------------------

§Ò thi 30
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1. (4 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55
b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0
Bµi 2. (4 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng :

a b c
= = vµ a + 2b – 3c = -20
2 3 4

b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu
b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê?
Bµi 3. (4 ®iÓm)
1
x
4
1
g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 4

a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 -

TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x).
b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau:
A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = -1.
Bµi 4. (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA.
Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D.
a)So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE.
b) TÝnh sè ®o gãc BED.
17

Bµi 5. (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G.
Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng:
a) IK// DE, IK = DE.
b) AG =

2
AD.
3

-------------------------------------------------------------®¸p ¸n - §Ò 1

C©u 1: ( 2 ®iÓm )
1
1
< 2
víi mäi n ≥ 2 nªn . ( 0,2 ®iÓm )
2
n
n −1
1
1
1
1
( 0,2 ®iÓm )
A< C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2
2 −1 3 −1 4 −1
n −1

a. Do

MÆt kh¸c:
C=
=

1
1
1
1
+
+
+ .... +
( 0,2 ®iÓm)
(n − 1)(. n + 1)
1.3 2.4 3.5

1 1 1 1 1 1 1
1
1 
−
 − + − + − + .... +
 ( 0,2 ®iÓm)
2 1 3 2 4 3 5
n −1 n + 1

1 1
1  1 3 3
= 1 + − −
 < . = <1


2

n

n + 1

2 2

(0,2 ®iÓm )

4

VËy A < 1
b. ( 1 ®iÓm ). B =

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
( 0,25 ®iÓm )
2
2
4
6
(2n )2

1
1
1
1
1 
1 + 2 + 2 + 2 + ..... + 2  ( 0,25 ®iÓm )
2 
2  2
3
4
n 
1
= 2 (1 + A)
( 0,25 ®iÓm )
2
1
1
1
Suy ra P < 2 (1 + 1) =
;Hay P <
(0,25 ®iÓm )
2
2
2

=

C©u 2: ( 2 ®iÓm )
Ta cã

k +1

k +1
> 1 víi k = 1,2………..n ( 0,25 ®iÓm )
k

¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã:
k +1

k + 1 k +1 1.1....1. k + 1
=
.
<
k
k
k

Suy ra 1 <

k +1

1 + 1 + ... + 1 +
k +1

k +1
1 
1
< 1+  −

k
 k k + 1

k +1
k =

( 0,5 ®iÓm )

LÇn l−ît cho k = 1,2, 3,…………………… n
n < 2 +3
=> [α ] = n
18

k
1
1
+ = 1+
(0,5 ®iÓm )
k +1 k
k (k + 1)

råi céng l¹i ta ®−îc.

3
n +1
1
+ ......... + n +1
< n + 1 − < n + 1 ( 0,5 ®iÓm)
2
n
n

C©u 3 (2 ®iÓm )
Gäi ha , hb ,hc lÇn l−ît lµ ®é dµi c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã:
ha + hb hb + hc hc + ha 2(ha + hb + hc ) ha + hb + hc
=
=
=
=
5
7
8
20
10

( 0,4 ®iÓm )

hc hb ha
=
=
=> ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm )
5
2
3
1
1
1
( 0,4 ®iÓm )
MÆt kh¸c S = a.ha = bhb = chc
2
2
2
a
b
c
=>
=
=
(0 , 4 ®iÓm )
1
1
1
ha
hb
hc

=>

=> a :b : c =

1 1 1 1 1 1
: : = : : = 10 : 15 : 6 (0 ,4 ®iÓm )
ha hb hc 3 2 5

VËy a: b: c = 10 : 10 : 6
C©u 4: ( 2 ®iÓm )
Trªn tia Ox lÊy A' , trªn tia Oy lÊy B' sao cho O A' = O B' = a ( 0,25 ®iÓm )
Ta cã: O A' + O B' = OA + OB = 2a => A A' = B B'
( 0,25 ®iÓm )
Gäi H vµ K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu
Cña A vµ B trªn ®−êng th¼ng A' B'
y
Tam gi¸c HA A' = tam gi¸c KB B'
( c¹nh huyÒn, gãc nhän )
( 0,5 ®iÓm
)
(0,25
=> H A' = KB', do ®ã HK = A'B'
®iÓm)
Ta chøng minh ®−îc
(0,25 ®iÓm)
HK ≤ AB (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A' B trïng B'
do ®ã A'B'